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Statistics/수리통계학5

확률변수(Random variable) 오늘은 통계에서 가장 기본적인 개념인 "확률변수"에 대해 포스팅할 것이다. 사회에 나가서 확률변수가 뭐에요? 라고 질문받았는데 벙--찌는 상황을 방지하기 위해 !! 알고 있는 개념이라도 다시 짚어보고 지나가려고 한다. 😁 확률변수란, 확률실험을 했을 때 발생할 수 있는 결과(s)를 실수값($\mathbb{R}$)으로 바꿔주는 함수이다. 이를 기호로 표현하면 다음과 같다. $X : s \rightarrow \mathbb{R} $ , $s \in S$ 이해를 돕기 위해 동전을 2번 던지는 게임을 생각해보자. 동전을 2번 던졌을 때 앞면(H) or 뒷면(T)의 조합이 나올 경우는 {HH, HT/TH, TT} 이다. 여기서, 확률변수 X 를 앞면의 갯수라고 정의하면 X({HH, HT, TH, TT}) = {2,.. 2021. 3. 18.
(UMVUE)최소분산불편추정량[Rao-Blackwell, Lehmann-Scheffe, Cramer-Rao] 앞 글에서 충분통계량은 여러 개가 존재할 수 있다고 했다. 그 중 가장 단순한 형태를 가진 최소충분통계량을 찾는 방법에 대해 알아보자. [Rao-Blackwell 정리] $\hat\theta=t(X_1,X_2,\cdots,X_n)$이 $\theta$에 대한 불편추정량이고, $Y=u(X_1,X_2,\cdots,X_n)$가 $\theta$에 대한 충분통계량일 때, $\varphi(Y)=E[\hat\theta|Y]$ (Y의 함수이면서 불편추정량임) 는 $\theta$에 대해 불편추정량이고, 모든 $\theta \in \Theta$에 대해 $Var_\theta[\varphi(Y)] \leq Var_\theta(\hat\theta)$ 을 만족한다. 즉, $\hat\theta$가 불편추정량이고 $Y$가 충분통계량일.. 2020. 3. 18.
충분통계량과 완비통계량 충분통계량에 대해 간단히 설명해보고자 한다. 어떤 분포를 따르는 확률표본 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$가 존재한다고 하자. 모수 $\theta$를 추정하기 위해 n개의 표본을 이용할 수도 있지만, n개의 표본을 더한 하나의 값만으로도 모수를 추정할 수 있다. => 여기서 $\sum x_i$을 충분통계량이라고 하고, 그 의미는 n개의 표본이 가지고 있는 $\theta$에 대한 모든 정보와 동일한 정보력을 가지며(sufficiency), 단순한 형태(minimal type)을 띄는 것으로 설명할 수 있다. 충분통계량에 대한 그림이 어느 정도 그려졌을거라고 생각한다. 이제 충분통계량의 이론적 정의에 대해 알아보자. [충분통계량] $X_1,X_2,\cdots,X_n$ ~ $f(x;\theta)$로부터의.. 2020. 3. 16.
바람직한 추정량 추정량의 의미와 바람직한 추정량이 되기 위한 조건에 대해 알아보자. 확률변수 $X_1, \cdots, X_n$의 함수인 통계량 $Y=u(X_1,\cdots,X_n)$ 가 모수$\theta$의 추정에 사용될 때, 이를 추정량(estimator)이라고 하고 기호로는 $\hat{\theta}=u(X_1,\cdots,X_n)$으로 표기한다. 추정량의 관측값 $u(x_1,\cdots,x_n)$은 추정치(estimate)라고 한다. - 추정량 : 모수의 추정에 사용되는 통계량 => 확률변수들의 함수이므로 확률변수가 될 수 있다. 분포를 가짐. - 추정치 : 추정량의 관측값 => 관측 후, 상수값이므로 추정치는 확률변수가 될 수 없다. 바람직한 추정량의 성질에 대해 알아보자. [불편추정량] 먼저, 편향(or 편의 :.. 2020. 3. 6.
모수추정법 - 점추정 [서론] 점추정을 배우기에 앞서 왜 점추정을 하게 되었는지 설명하고자 한다. 통계학에서는 데이터를 다루는 목적에 따라 추론통계학(Inference Statistical)과 기술통계학(Descriptive Statistical)로 나뉜다. 여기서 우리는 추론통계학에 대해 알아보자. 추론통계학이란, 표본이 가진 정보로 모집단의 특성(모수 : parameter)을 추론하고 그 결과가 신뢰성이 있는지 검정하는 것이다. 의미에서 힌트가 있었다. 추론통계학은 크게 추정(estimation)과 검정(test)이 있다. 추정에 초점을 맞추어 보자. 추정은 표본을 추출하여 측정한 결과값을 모집단에 대한 측정결과로 사용하는 것이다. 추정에는 '점 추정(point estimation)'과 '구간 추정(interval est.. 2020. 3. 6.

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