EMS(expected mean square) : 기대평균제곱

 

 

 

 

 

 

1. EMS

 

오차 분산 $\sigma^2$의 비편향 추정량은 $MS_E$이다. 그런데 만일 처리 평균들이 동일하다면 $MS_{trt}$도 역시 오차 분산 $\sigma^2$의 추정량이 된다. 결국 처리 평균들이 동일하다면 $MS_E$(처리내오차)와 $MS_{trt}$(처리간오차) 모두 오차 분산 $\sigma^2$의 추정량이며, 값에 별로 차이가 없을 것이라고 짐작할 수 있다. 하지만 만일 $MS_E$와 $MS_{trt}$간에 값 차이가 크다면 처리 평균들 간에도 차이가 있다고 판단할 수 있다. 이러한 짐작은$MS_E$와 $MS_{trt}$에 대한 기댓값을 산출해보면 확인할 수 있는데 이와 같은 평균제곱에 대한 기댓값은 기대평균제곱(EMS : expected mena square)이라 한다. 

 

우선 $E(MS_E)$ 를 구하면, 긴 계산과정을 생략하고 $\sigma^2$와 같다. 

$E(MS_{trt})$은  $\sigma^2 +r \frac{\sum_{i=1}^t \tau_i^2}{t-1}$ 이다.

 

따라서, 위에서 말했듯이 처리 효과 $\tau_i$가 모두 0이라면 $E(MS_{trt}) = \sigma^2$로 귀착된다. 

 

EMS는 F검정의 이론적 근거가 되며, 처리 효과에 대한 구체적인 분석법은 언제나 EMS간의 비교를 기초로 정립된다.

 

 

 

2. EMS rule

오차 E와 자체 효과 그리고 주어진 효과에 대한 기호를 모두 포함하는 교호작용 효과들 중 
주어진 효과를 제외한 나머지 요인들이 전부 랜덤효과인 교호작용 효과들을 덧셈 형식으로 표기 


1. 오차 E는 언제나 랜덤효과이다
2. 주효과는 각 요인의 수준이 어떻게 결정되었는가에 따라 고정효과 또는 랜덤효과로 구분된다.
3. 교호작용 효과에 포함된 어느 한 요인이라도 랜덤효과이면 그 교호작용 효과는 랜덤효과이고 
그렇지 않으면 고정효과이다.

 

3-factor design 에서 요인 A가 고정, 요인 B가 랜덤, 요인 C가 고정일 때 EMS를 구해보자. 위의 성질에 따라 교호작용 효과 AB는 랜덤, BC는 고정, AC는 랜덤이다. 

 

글자 표기(letter notation) EMS

source	EMS	F통계량의 분모항
A	E+A	E
B	E+B+AB	AB
C	E+C+AC	AC
AB	E+AB	E
AC	E+AC	E
BC	E+BC+ABC	ABC
ABC	E+ABC	E
E	E

 

설명) 우선 오차 E가 들어가는 교호작용 효과는 없으므로 E에 대한 EMS는 그대로 E로 표기한다. 

교호작용 효과 ABC에 대한 EMS를 구하려면 규칙에 따라 오차 E와 자체효과 ABC만을 고려한다. 따라서 ABC에 대한 EMS는 E+ABC이다. 

E에 대한 EMS를 구하려면, 우선 오차 E와 자체 효과 B를 고려한다. 그리고 B를 포함하는 모든 교호작용 효과들을 나열한다. 그리고 B를 포함하는 모든 상호작용 효과들을 나열한다. 이런 상호작용 효과들에는 AB, BC, ABC의 세 개가 있다. 이들 중 AB에서는 자체효과 B를 제외한 나머지가 A인데 A는 랜덤효과라 가정하였으므로 AB는 EMS에 포함한다. 두 번째로 교호작용 효과 BC에서 B를 제외하면 C가 남는데 C는 고정효과이므로 교호작용 효과 BC는 EMS에 포함되지 않는다. 세 번째로 상호작용 효과 ABC에서 B를 제외하면 남는 효과가 AC인데 C가 고정효과이므로 ABC 역시 EMS에 포함되지 않는다. 따라서 B에 대한 EMS는 E+B+AB 가 된다. 

 

+ 글자표기 EMS 규칙은 요인 설계 모형 즉 교차 실험 모형에 대해서만 적용할 수 있다. 순수한 지분 모형이나, 지분 요인이 혼재된 모형에는 사용할 수 없다. 

 

 

위의 글자 표기 EMS를 실제 공식으로 바꾸면 다음과 같다.

source	EMS
A	$\sigma^2$ + bcn$\sigma^2_\alpha$
B	$\sigma^2$ + cn$\sigma^2_{\alpha\beta}$ + acn$\sum_{j=1}^b \beta_j^2/(b-1)$
C	$\sigma^2$ + bn$\sigma^2_{\alpha\gamma}$ + abn$\sum_{k=1}^c \gamma_k^2/(c-1)$
AB	$\sigma^2$ + cn$\sigma^2_{\alpha\beta}$
AC	$\sigma^2$ + bn$\sigma^2_{\alpha\gamma}$
BC	$\sigma^2$ + $an\sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^c (\beta\gamma)^2_{jk}/(b-1)+ n\sigma^2_{\alpha\beta\gamma}$
ABC	$\sigma^2$ + $n\sigma^2_{\alpha\beta\gamma}$
E	$\sigma^2$